Analisi e studio su:
Jean Piaget – Alina Szeminska
La genesi del numero nel bambino
La Nuova Italia, Firenze 1941 – Seconda ristampa 1976
Parte V di 5
La coordinazione delle relazioni di equivalenza e la composizione moltiplicativa dei numeri.
Nel corso delle operazioni moltiplicative come in quello delle addizioni, la composizione qualitativa degli elementi non si costituisce sul piano operante prima di quella dei numeri, ma nel medesimo tempo. Non c’è uno stadio della moltiplicazione logica e uno stadio della moltiplicazione aritmetica: nel corso di un primo stadio non è possibile alcuna di queste composizioni; nel corso del secondo si delineano tutte e due su un piano intuitivo, ma senza compimento operativo, e nel corso del terzo tutte e due si costituiscono in operazioni propriamente dette. Per cui si verifica una riuscita simultanea nelle diverse prove considerate in questo capitolo e la generalizzazione immediata della moltiplicazione, appena questa viene scoperta.
Le composizioni additive e moltiplicative delle relazioni e l’egualizzazione delle differenze.
Il primo stadio corrisponde a quello del primato della percezione immediata, senza conservazione; il fanciullo non arriva alla nozione di una misura comune e quando si tenta di dargliene una dimostrazione, per mezzo dell’esempio, non ne tiene alcun conto e valuta soltanto in base alla percezione. Egli non sa dunque comporre in alcun modo i rapporti percepiti.
In seconda istanza il fanciullo arriva a certe conservazioni, ma non le estende a tutte le trasformazioni. Pregato di misurare, vi riesce in parte, ma senza saper scegliere in ogni caso i bicchieri adatti. Quando proponiamo una unità di misura per valutare un rapporto qualsiasi, il soggetto non sa liberarsi dai criteri di ordine percettivo.
Terzo punto: il soggetto giunto alla conservazione diviene capace di misurare mediante unità comuni e di sbizzarrirsi in tutte le composizioni elementari. Qualunque misurazione è impossibile fino a che non c’è conservazione delle quantità da misurare, per la buona ragione che le quantità non conservabili non possono essere composte tra loro.
I soggetti del primo livello non riescono ancora a dedurre dall’eguaglianza di distribuzione l’eguaglianza dei risultati. In un secondo tempo si ha un inizio di coordinazione, ma ancora intuitiva o sperimentale, senza rigore operante. Il fanciullo non appare capace di effettuare la composizione operante in alcun campo, e da questo deriva la sua incomprensione della misura comune, in contrasto con la misura semplice o confronto tra due termini e da cui deriva la sua incomprensione dell’unità in quanto questa è precisamente una unità di misura comune.
I fanciulli del terzo stadio, capaci di costruzioni operanti, uniscono la credenza nella conservazione a una capacità di misurazione sempre più sistematica. La misura comune e la determinazione delle unità indicano il progresso di questo stadio in confronto al secondo e definiscono la composizione operante in opposizione con la semplice coordinazione intuitiva.
La composizione delle relazioni e quella delle unità numeriche.
La misurazione presuppone una logica: misurare significa comporre unità che si conservino e introdurre tra queste composizioni un sistema di equivalenze.
Dalla figura: si rovescia il liquido dal primo al secondo contenitore e si chiede: ora ce n’è di più o di meno o uguale?
I soggetti del primo livello non riescono a costituire alcuna composizione, sia logica che numerica. Il fanciullo non arriva a moltiplicare le due relazioni inverse di altezza (livello) e di larghezza (superficie) delle colonne d’acqua considerate. Quando gli si domanda di prendere una quantità d’acqua uguale, egli si limita a riprodurre lo stesso livello. Non c’è moltiplicazione di larghezza per altezza, ma giustapposizione dei due dati presi in considerazione alternativamente.
Nel secondo stadio appaiono tentativi di coordinazione del livello e della larghezza, ma senza soluzione dei problemi di proporzione. C’è coordinazione delle equivalenze, ma in assenza di rigore deduttivo. Prendono il via inizi della composizione numerica, ma soltanto intuitiva e non ancora operante. Si danno gli inizi della coordinazione, ma per via intuitiva e senza composizione operante. I fanciulli pensano contemporaneamente alla larghezza e all’altezza e cercano un livello superiore del liquido. Ma, invece di trovare un principio di composizione e di misura ossia di tener conto delle proporzioni, il fanciullo si limita a valutazioni del tutto empiriche. Arriva a scoprire le eguaglianze e ad attribuire a queste eguaglianze una costanza progressiva; ma non in virtù di una deduzione vera e propria, che consisterebbe nel comporre le eguaglianze totali o nel comporre i rapporti altezza-larghezza rispettivi. Se egli raggiunge il risultato corretto, è per una semplice analogia induttiva. Il metodo adottato è quello di una coordinazione intuitiva e non deduttiva.
La costituzione dell’unità, necessaria nella misura, implica l’eguaglianza delle differenze, e condizione stessa del passaggio tra la composizione di relazioni semplicemente qualitative e le composizioni propriamente numeriche.
Nel terzo stadio si costituisce in modo operante e non più soltanto intuitivo, la composizione additiva e moltiplicativa delle relazioni e dei numeri. È proprio nel momento in cui il fanciullo diviene capace di una composizione rigorosa delle operazioni elementari della logica delle relazioni (addizione e moltiplicazione delle relazioni asimmetriche) che riescono ugualmente esatte le prove di composizione numerica, additiva e moltiplicativa a un tempo, quando questa composizione verte sulle stesse relazioni. Questi fanciulli combinano fra loro le unità di misura ottenute con una egualizzazione rigorosa delle differenze.
Conclusioni.
Nel corso di un primo stadio il fanciullo non conosce né conservazione né composizione. La sua valutazione è fondata sulle sole qualità e sui loro rapporti semplici e attuali (quantità bruta), senza conservazione né misura né moltiplicazione dei rapporti né costituzione di unità numericamente componibili: un rapporto dominante (il livello o più raramente la larghezza) ha senz’altro la prevalenza sugli altri e impedisce ogni coordinazione. Ma, grazie ai progressi delle intuizioni, questi rapporti percettivi comincino presto o tardi a coordinarsi tra loro, durante le trasformazioni ristrette e non più soltanto nelle loro totalità globali attuali: ed è questo inizio di coordinazione intuitiva a caratterizzare il secondo stadio. Il soggetto comincia a comprendere la coordinazione dei rapporti inversi (moltiplicazione delle relazioni alto per largo) (l’“inversamente proporzionale”). In generale la misurazione diviene così possibile sotto la sua forma elementare di confronto tra due termini, finché non intervenga una comune misura o composizione non intuitiva di unità.
Il secondo stadio rimane intuitivo, non essendo l’intuizione che una rappresentazione costruita per mezzo di percezioni interiorizzate e fissate, e non raggiunge ancora il livello dell’operazione che consiste di una composizione liberata dalla percezione (la fase concettuale-percettiva di U. Kephart) e che costituisce il legame tra tutti i dati percepiti successivamente in un sistema coerente e mobile nello stesso tempo.
Il raggiungimento del terzo stadio sembra che si possa spiegare soltanto riferendosi alla costituzione di due sistemi solidali, il “raggruppamento” delle moltiplicazioni e di relazioni e il “complesso” delle moltiplicazioni numeriche, in quanto entrambi coordinano le operazioni in gioco in una totalità chiusa e reversibile, uno sul piano qualitativo e l’altro su quello dei numeri. Quando al terzo stadio il fanciullo arriva a ordinare i livelli di 5 o 6 bicchieri diversi in proporzione inversa della larghezza e ciò anche senza che siano allineati sul tavolo in ordine progressivo, è evidente che egli dimostra così la sua capacità di raggruppare le moltiplicazioni. Il progresso segnato nel terzo stadio non consiste soltanto nell’acquisizione delle coordinazioni qualitative ossia, nel caso particolare, in un raggruppamento di moltiplicazioni e di relazioni, ma anche nella costituzione sincronica del gruppo delle moltiplicazioni aritmetiche stesse, grazie a quel processo di egualizzazione delle differenze che permette al soggetto di aritmetizzare le relazioni e i loro termini in un sistema di unità componibili tra di loro. Il fanciullo riconosce che le differenze si annullano e questa egualizzazione delle relazioni permette la costituzione della nozione di unità.
L’egualizzazione delle differenze conduce alla suddivisione e alla composizione di unità divenute numeriche. Mentre la moltiplicazione delle classi e quella delle relazioni costituiscono due operazione ben distinte, che consistono nel mettere in corrispondenza una, dei termini qualitativamente equivalenti tra loro e, l’altra, delle relazioni asimmetriche (di differenze) tra termini non equivalenti, basta egualizzare queste differenze per introdurre l’equivalenza tra i termini stessi di queste relazioni e per fondere così la moltiplicazione delle relazioni e quella delle classi in un’unica totalità operante, che non è altro che la moltiplicazione dei numeri. Una volta di più, quindi, il numero appare come la sintesi della classe e della relazione asimmetrica o, ciò che è lo stesso, della relazione simmetrica (eguaglianza) e delle differenze (relazioni asimmetriche).
Immagine di Copertina tratta da FuturiMagazine.
Mario Bruno 