Analisi e studio su:
Jean Piaget – Alina Szeminska
La genesi del numero nel bambino
La Nuova Italia, Firenze 1941 – Seconda ristampa 1976
Parte IV di 5
La composizione additiva delle classi e i rapporti della classe e del numero
[conservazione di un insieme]
La costruzione del numero intero si completa con la scoperta delle operazioni additive e moltiplicative le quali sono già implicite nel numero come tale, poiché un numero è una riunione additiva di unità e la corrispondenza termine a termine tra due gruppi racchiude in sé una moltiplicazione. Allo stesso modo che la formazione del numero è strettamente collegata a quella delle classi e delle relazioni logiche, così l’uso delle operazioni numeriche è abbinato a quello delle operazioni qualitative. Abbiamo considerato il numero come una classe seriata ossia come il prodotto della classe e della relazione asimmetrica. Il numero è necessario al conseguimento delle strutture propriamente logiche. Invece di far derivare il numero dalla classe, o inversamente, oppure considerarli essenzialmente indipendenti, si può infatti concepirli come complementari e, benché in due direzioni diverse, solidali nello svolgersi.
Durante il primo stadio il fanciullo non è ancora capace di afferrare che le classi B conterranno sempre più elementi delle classi di ordine A e questo perché, psicologicamente, non arriva a pensare simultaneamente a un tutto B e alle parti A e A’ e questo è lo stesso che dire, logicamente, che non concepisce ancora la classe B come risultante dell’addizione B=A+A’, né la classe A risultante dalla sottrazione A=B-A’.
Nel secondo stadio il fanciullo arriva a poco a poco a stabilire che le classi di ordine B contengono un maggior numero di elementi delle classi inclusive di ordine A, ma fa questa scoperta intuitivamente, senza procedere ancora per via deduttiva e operante.
Nel terzo stadio il fanciullo comprende subito che la classe che include, B, è più numerosa della classe inclusa, A, perché si è posto, in precedenza, dal punto di vista della composizione additiva (B=A+A’ e A=B-A’). Sistematica la difficoltà del bambino, prima di raggiungere i 7-8 anni, per includere una classe in un’altra e comprendere che la classe totale è più grande o più numerosa della classe inclusa.
Quando si tratta di pensare simultaneamente al tutto e a una parte, sorgono difficoltà. Tutto si svolge (primo stadio) come se il fanciullo, nel pensare alla parte, dimenticasse il tutto e reciprocamente; o piuttosto il fanciullo, quando pensa al tutto, arriva a rappresentarsi le parti non ancora dissociate, ma quando cerca di dissociare una delle parti, dimentica il tutto, o non ne tiene conto, e si limita a confrontare la parte presa in considerazione alla parte rimanente ossia al residuo del complesso iniziale. I fanciulli non arrivano a stabilire una gerarchia o una inclusione permanente fra il tutto e le parti: quando il tutto è dissociato, anche con l’immaginazione, le parti non sono più considerate incluse in questo complesso, ma semplicemente poste una accanto all’altra senza sintesi. È dunque la relazione di inclusione che i fanciulli non riescono ancora a comprendere o a elaborare da soli; le totalità da essi considerate non costituiscono affatto classi logiche, ma schemi elementari di assimilazione o aggregati sincretici tali che, per il fanciullo, la relazione tra la parte e il tutto non è ancora una relazione quantitativa e neppure quantificabile “intensivamente” ossia non costituisce una relazione né di frazione né di inclusione, ma una semplice partecipazione qualitativa.
Dal punto di vista qualitativo il soggetto comprende che una perla può essere contemporaneamente scura e di legno, ma che, dal punto di vista dell’inclusione o della classificazione quantitativa, non può contare o semplicemente situare queste stesse perle in due complessi alla volta. Quando il fanciullo ragiona su di una parte considerata per conto proprio, la totalità come tale si dissolve e trasferisce quindi le proprie qualità soltanto sull’altra parte. La difficoltà sta nel concepire il tutto come un complesso che risulti da una composizione additiva delle parti (B=A+A’ e A=B-A’). Per il fanciullo, il tutto è semplicemente un complesso B caratterizzato da due qualità a (scure) e a’ (non scure), mentre la parte A separata dal tutto diviene un nuovo complesso caratterizzato dalla sola qualità a; ma se A è così dissociata da B, allora la precedente totalità B è concepita come ridotta al piccolo complesso rimanente A’ caratterizzato dalla qualità a’, da cui A>(B=A’). O anche, se la totalità B è caratterizzata dalla qualità b (di legno) comune a tutti i sui elementi e se le parti di A e A’ sono definite dalla qualità a (scure) e a’ (non scure), si ha B = A (= ab) + A’ (= a’b); invece, per il fanciullo, se la parte A è dissociata dal tutto >B, allora A non è più caratterizzato che da a, e il tutto B sparisce a vantaggio di A’, che è definito da b soltanto.
Se gli unici criteri utilizzati dal fanciullo sono di ordine intuitivo e non operante, è chiaro che una totalità scissa in due, sia pure solo mentalmente, non esiste più in se stessa, perché non corrisponde ad alcuna percezione possibile; il fanciullo può percepire separatamente il tutto B1 o le parti A1 e A’1, ma non simultaneamente B1 e A1 o B1 e A’1. Il fanciullo è incapace di agire una composizione additiva delle classi, ossia di concepire l’addizione logica A+A’=B o la sottrazione logica A=B-A’ e A’=B-A. Non riesce a servirsi correttamente della relazione d’inclusione e sostituisce all’inserimento in estensione delle classi, le une nelle altre, dei semplici legamenti intuitivi di complessi qualificati.
Il secondo stadio è caratterizzato alla scoperta intuitiva – e non deduttiva – della risposta esatta ossia non si effettua una composizione immediata, ma si procede per tentativi prima di determinare la costruzione corretta. È il fatto di arrivare a pensare contemporaneamente alla classe totale caratterizzata dalla qualità b (sostanza) e alle classi parziali definite dalle qualità a e a’ (colore), che porta a poco a poco questi fanciulli alla scoperta della composizione additiva e dell’inclusione corretta.
Nel corso di un terzo stadio il soggetto arriva immediatamente e spontaneamente a questa scoperta. I fanciulli arrivano immediatamente, o quasi, a pensare simultaneamente alla classe totale B caratterizzata dalla qualità b (sostanza o forma) e alla sottoclasse A definita dalla qualità a (colore). Una classe logica è un complesso di elementi che presentano una stessa qualità comune. Una addizione di classi implica sempre una moltiplicazione di queste stesse classi ossia ogni elemento che appartiene a un sistema di classi addizionate, appartiene necessariamente a due classi “contemporaneamente”.
La vera ragione delle difficoltà dei più piccoli e del successo dei più grandi consiste nel fatto che i primi si pongono immediatamente nel campo dell’intuizione percettiva, che è immediata o in atto e quindi irreversibile, mentre i secondi utilizzano un meccanismo operante che è reversibile.
Si può dire che la sintesi additiva delle parti in un tutto, o la coordinazione delle qualità che definiscono le classi considerate, sono possibili soltanto in funzione di costruzioni intellettuali reversibili operate dal fanciullo e che nella misura in cui le sue esperienze mentali permangono irreversibili, la coordinazione delle qualità è l’inclusione additiva, come pure il collegamento aritmetico, sono per lui impossibili. L’ostacolo è rappresentato dal non riuscire a appresentarsi esattamente, attraverso un’esperienza mentale, come si tolgono dal complesso delle perle soltanto quelle scure per farne una collana; ma quando si tratta di formare mentalmente un’altra collana con il complesso di perle di legno, i bambini ritengono che quelle scure, già utilizzate per ipotesi per la prima collana, non siano più disponibili e che quindi restino soltanto le due perle bianche.
La irreversibilità del pensiero e della rappresentazione impedisce al fanciullo di acquisire la possibilità di scomposizione necessaria all’analisi e alla sintesi combinate e quindi di comprendere le inclusioni e le relazioni. Il fanciullo arriva a disegnare correttamente le collane perché, quando ne disegna una non è costretto a pensare simultaneamente all’altra; ma quando si tratti di formarle immaginariamente tutte e due nello stesso tempo, la costruzione di quella con le perle scure esclude la possibilità di usare queste ultime per determinarne un’altra con le perle di legno. È qualcosa di simile all’accendersi di due lampade comandate da un commutatore di corrente. Se il deviatore porta corrente solo alla prima lampada, ruotato per dare luce alla seconda, simultaneamente priva di corrente la precedente, la quale si spegne. Così nella mente del bambino in fase di irreversibilità.
Se il disegno della collana è corretto, mentre la loro costruzione mentale non lo è, questo si verifica in quanto il disegno le rappresenta una dopo l’altra e le pone semplicemente una accanto all’altra, il che non implica alcuna reversibilità interna delle operazioni, mentre la loro formazione simultanea presuppone l’impiego degli stessi elementi per due costruzioni e quindi la loro reversibilità. Dopo aver formato ipoteticamente la collana scura, non possono più liberarsi da questa costruzione irreversibile per fabbricare ipoteticamente la collana di perle di legno servendosi degli stessi elementi.
Una delle costruzioni mentali del fanciullo esclude l’altra e questo perché esse restano di carattere intuitivo e non raggiungono il livello operativo. Il fanciullo non arriva a formare simultaneamente per esperienza mentale una collana con la parte A e un’altra con il tutto B, dato che la prima costruzione finisce con il distruggere contemporaneamente nei due complessi il tutto B e di conseguenza con il determinare l’impossibilità di formare la seconda. Pensare in modo reversibile significa invece saper procedere da una di queste operazioni all’altra. Non sapersi servire delle operazioni come tali significa sostituire un meccanismo operativo mobile e avente una duplice direzione con le percezioni statiche e successive di stati che non è possibile sincronizzare e quindi conciliare.
La composizione additiva delle classi e il numero.
La seriazione non è altro che un’addizione di differenze in opposizione all’addizione delle classi, che è una addizione di elementi equivalenti da un dato punto di vista. Queste due condizioni sono necessarie e sufficienti per generare il numero. Un numero è contemporaneamente una classe e una relazione asimmetrica e le unità che lo compongono sono addizionate simultaneamente, in quanto equivalenti e disposte in serie, in quanto diverse le une dalle altre. Nella logica qualitativa la fusione operante di questi due caratteri non è possibile, perché l’addizione delle classi è commutativa e causa del fatto che gli addendi sono equivalenti, mentre l’addizione delle relazioni asimmetriche, o seriazione, non è commutativa, in quanto i termini non sono equivalenti.
Il numero risulta nello stesso tempo dall’equivalenza generalizzata e da una seriazione generalizzata (perché “vicariante”); per esempio la prima unità di due è equivalente alla seconda, e se si cambia il loro ordine di enumerazione, la seconda diviene la prima e viceversa.
La classe, la relazione asimmetrica e il numero sono le tre manifestazioni complementari della stessa costruzione operante, applicati sia alle equivalenze sia alle differenze sia alle equivalenze e differenze riunite; è precisamente al momento in cui il fanciullo, giunto a rendere mobili le valutazioni intuitive espresse agli inizi, raggiunge così il livello dell’operazione reversibile, che egli diviene capace simultaneamente di includere, di disporre in serie e di enumerare. È evidente che questo sincronismo si esplica logicamente, se si considera il numero come classe e relazione asimmetrica fuse in uno stesso complesso operante. Ma esso trova la sua giustificazione anche psicologicamente e nel modo più chiaro; da una parte, essendo ogni numero una totalità determinata dal raggruppamento di termini equivalenti e distinti, è necessario sapere, a un tempo, includere e disporre in serie per costituirlo.
La composizione additiva dei numeri e le relazioni asimmetriche tra la parte e il tutto.
Percezione spaziale dei complessi. Per studiare questa composizione additiva di ordine numerico si ricorre a tre metodi paralleli: vedere se il fanciullo è capace di comprendere l’identità di un tutto attraverso le varie composizioni additive delle sue parti (4+4)=(1+7)=(2+6)=(3+5). A questo riguardo si osservano tre tipi successivi di risposte. Nel corso del primo stadio non è riconosciuta l’equivalenza tra i due complessi (7+1) e (4+4). Per i soggetti del terzo stadio l’equivalenza c’è e tra i due stadi si osservano reazioni intermedie in cui l’uguaglianza non è costruita per composizione additiva, ma risulta da una verifica preliminare (con corrispondenza o numerazione). Questa prima tecnica permette di dimostrare subito che, per i più piccoli, una totalità numerica di valore cardinale di 8 non è il risultato di una composizione additiva, ma consiste in un tutto intuitivo o in altrettanti complessi globali quante sono le parti percepite in blocco; in tal caso la somma di queste parti non ha alcun significato.
Corrispondenza qualitativa. Si presentano al fanciullo due complessi disuguali, per es. 8 e 14 gettoni, e gli si domanda; “Fa che i gettoni siano lo stesso” o “che nei due gruppi ce ne siano altrettanti”.
Durante il primo stadio il fanciullo non comprende che aggiungendo dei gettoni al mucchio piccolo ne toglie al grande; non riesce dunque a concepire i due complessi uno in relazione all’altro, e li valuta in modo semplicemente globale. Durante il secondo stadio il fanciullo arriva a metterli uno in rapporto all’altro, ma intuitivamente e per mezzo di figure che rende uguali con tentativi empirici successivi. Nel terzo stadio il fanciullo procede per corrispondenza e composizione operanti.
Corrispondenza con equivalenza quantificante. La terza tecnica è quella della suddivisione: “Guarda questi gettoni; bisogna farne due parti, in modo che ne abbiate tutti e due lo stesso”. Gli stadi ottenuti sono paralleli ai precedenti.
Le relazioni tra le parti e il tutto e i cambiamenti delle composizioni delle parti. All’inizio i soggetti non comprendono né l’uguaglianza dei due complessi da confrontare (4+4) e (7+1) né la permanenza della seconda totalità attraverso i cambiamenti di distribuzione dei suoi elementi. Da una parte il fanciullo non considera la totalità (7+1) come permanente; si lascia guidare dai rapporti percettivi invece di modificarli con relazioni operanti. Nel secondo stadio il fanciullo si accorge spontaneamente o in seguito a suggerimento (mentre al primo stadio restava insensibile a questa osservazione), che il complesso 1+7 sembra nello stesso tempo più grande e più piccolo del complesso 4+4, secondo che si consideri 7>4 e 1<4. Di fronte a un duplice confronto simultaneo il fanciullo, costretto da questa interferenza di relazioni, è portato a coordinarle in un tutto. Nel confrontare la forma iniziale di un complesso alle sue ulteriori trasformazioni, si accorge che l’aumento degli elementi di un sotto-complesso compensa la diminuzione di quelli dell’altro. La coordinazione di queste relazioni rende così possibile l’elaborazione di una totalità permanente e, quindi, la subordinazione delle parti a un tutto reale. Questo passaggio dalla non-conservazione intuitiva alla conservazione operante ci permette di assistere alla genesi dell’addizione, che è un’operazione reversibile.
Nel terzo stadio le operazioni numeriche di composizione additiva sono applicate istantaneamente, senza che il soggetto abbia bisogno di procedere a coordinazioni intuitive preliminari. Il soggetto riduce anche immediatamente questo trasferimento in termini numerici (4+4)=(1+7) senza provare il bisogno di un preliminare ragionamento qualitativo. Ogni sotto-complesso è concepito relativamente all’altro e tutti e due in relazione alla loro somma. L’intuizione di un aumento diviene addizione solo se questo numero viene messo in reciprocità operante con una sottrazione (4+3)+(4-3)=8.
L’equalizzazione di quantità diverse. Nel primo stadio il bambino, per egualizzare le quantità corrispondenti a 8 e 14 elementi che gli vengono presentati, si limita a togliere dal mucchio grande alcuni gettoni per aggiungerli al piccolo e confronta globalmente, a mano a mano e senza sistema, i risultati ottenuti da questo spostamento empirico. Nel secondo stadio il fanciullo stesso forma spontaneamente delle figure per confrontare ed eguagliare i due gruppi di gettoni. Nel terzo stadio il fanciullo procede con corrispondenze univoche e reciproche, con o senza la numerazione verbale e le operazioni che ne derivano.
Nel corso del primo stadio il fanciullo non comprende la necessaria compensazione delle addizioni e delle sottrazioni. Durante il secondo stadio diviene conscio di questa compensazione, ma soltanto sul piano intuitivo. Nel terzo stadio arriva all’uso operante degli spostamenti e quindi a una reversibilità ben regolata.
Nel primo stadio non vengono effettuate sottrazioni né addizioni vere ossia operanti, ma semplicemente azioni empiriche con risultato fortuito e imprevedibile per il soggetto. Le totalità percepite e concepite dal bambino sono rigide e fragili allo stesso tempo, contemporaneamente globali e instabili. Sono rigide in quanto percepite globalmente in complessi supposti inesauribili, ma sono anche fragili e instabili perché nessun principio di conservazione assicura la loro permanenza in mancanza di una totalità B che riunisca A e A’ in un sistema stabile malgrado le loro covariazioni. Invece per il giudizio capace di composizione additiva reale, le totalità sono mobili e solide a un tempo; mobili nella loro composizione e solide in quanto invariabili.
Nel secondo stadio appare la tendenza a disporre i gettoni secondo figure che possono essere confrontate per eguagliarle. Si ha un inizio della composizione additiva, ma su un piano puramente intuitivo.
Per il fatto stesso che trasforma i mucchi disuguali in figure, il fanciullo è obbligato a confrontarli continuamente. Basta alterare la figura perché non sia più riconosciuta l’eguaglianza, dato che non si verifica ancora una conservazione operante.
Nel terzo stadio i progressi della corrispondenza permettono al fanciullo di utilizzare a un tempo questo procedimento come strumento di egualizzazione e inoltre di costituire un’equivalenza indipendente dalla disposizione degli elementi; da cui la possibilità di una composizione additiva propriamente operante. La comparsa delle operazioni numeriche è caratterizzata da u processo di egualizzazione delle differenze. Né l’enumerazione primitiva né la totalizzazione globale, considerate separatamente, sono sufficienti ad assicurare il verificarsi della corrispondenza.
Quando il soggetto, nel confrontare le figure, arriva a stabilire la somiglianza nel dettaglio degli elementi e nella forma complessiva contemporaneamente, allora può determinarsi una prima sintesi tra l’enumerazione e la totalizzazione, e una sintesi che produca esattamente la corrispondenza termine a termine, ma soltanto sul piano intuitivo (secondo stadio). Da una parte, l’esame della totalità che costituisce la figura fornisce una specie di collegamento intuitivo e, dall’altra, la possibile enumerazione degli elementi si traduce in seriazioni fondate sulla loro posizione o su qualsiasi altra qualità, purché siano percepite direttamente. È questa sintesi intuitiva della enumerazione divenuta seriazione e della totalizzazione divenuta composizione figurata che caratterizza il secondo stadio, come prima quella specie di anticipazione del secondo stadio che si osserva sin dal primo stadio nei riguardi dei piccoli complessi da 1 a 4-5 oggetti. La sintesi intuitiva segna un progresso evidente nel senso della composizione additiva.
Nel corso del terzo stadio si stabilisce una sintesi durevole tra l’enumerazione e il collegamento. Il fanciullo diviene capace di comprendere che ogni posto occupato da un termine di questa serie è definito in relazione al complesso stesso degli elementi così seriati e che questo complesso costituisce, d’altra parte, una totalità invariabile.
La coordinazione completa dell’enumerazione e del collegamento, nella corrispondenza operativa del terzo stadio, fa sì che qualsiasi figura percettiva di un complesso dato possa determinare qualsiasi altra e viceversa; il fanciullo, quindi, ha raggiunto la reversibilità completa.
Nel corso del primo stadio il pensiero del fanciullo resta irreversibile nel senso che ogni percezione costituisce un momento particolare del flusso della sua esperienza e non segue un procedimento inverso stabile.
Durante il secondo stadio la coordinazione si effettua, ma soltanto entro il campo delle percezioni che si estendono così in direzione del giudizio.
Durante il terzo stadio le operazioni oltrepassano il campo della percezione (la fase percettivo-concettuale di N. Kephart) e raggiungono nello stesso tempo la reversibilità completa nelle loro composizioni. Il passaggio dalla prima percezione al primato della deduzione, la progressiva coordinazione delle operazioni e la reversibilità graduale sono i tre aspetti di un solo processo che definisce l’evoluzione stessa della ragione.
Immagine di Copertina tratta da Wikipedia.
Mario Bruno 