Jean Piaget – Alina Szeminska – La genesi del numero nel bambino – Parte 3 di 5

Analisi e studio su:

Jean Piaget – Alina Szeminska
La genesi del numero nel bambino

La Nuova Italia, Firenze 1941 – Seconda ristampa 1976

Parte III di 5

La seriazione, la similitudine qualitativa e la corrispondenza ordinale

Nel terzo stadio il fanciullo arriva a trovare la corrispondenza corretta coordinando le seriazioni con la cardinazione.

• Dalla corrispondenza seriale alla corrispondenza ordinale.

Una prova consiste nello scalare un elemento della serie corrispondente in rapporto all’altra (bambole e palle: si accostano le palle senza spostare le bambole). Si indica una bambola e si chiede quale palla le corrisponda e viceversa.

Primo stadio.  I fanciulli di questo livello non sanno arrivare spontaneamente a una seriazione e a una corrispondenza seriale corretta. Ma con i nostri suggerimenti (la mediazione) ossia quando le domande vertono sui loro errori, ci arrivano. I soggetti di questo stadio restano lontani dalla comprensione reale della seriazione, che non riconoscono per le corrispondenze nel caso in cui gli elementi non sono più direttamente in corrispondenza termine per temine, benché le serie rimangano parallele, pur con un leggero spostamento. Il fanciullo, tuttavia, comprende bene la domanda portagli; prova ne sia che, se seguiamo l’ordine delle bambole da 1 a 10 e da 10 a 1, egli indica ogni volta con il dito le palle corrispondenti; riesce anche sempre a trovare le giuste corrispondenze delle due estremità delle file, ma quando ci soffermiamo su un elemento centrale qualsiasi, senza seguire l’ordine intuitivo della serie, il soggetto si smarrisce: invece di indicare egli stesso, con il dito o con lo sguardo, la corrispondenza cominciando dalle estremità, si limita a indicare il termine posto di fronte. Le serie e le corrispondenze stabilite con l’aiuto dell’adulto non sono dunque, per il bambino di questo primo livello, che figure globali non ancora scomponibili sistematicamente. Se il fanciullo sembra comprendere la corrispondenza quando si segue l’ordine della serie, ciò dipende dal fatto che egli si limita a una semplice perseveranza, senza alcuna reale messa in rapporto, e quando si salta un elemento o due, il carattere globale della figura si oppone a qualsiasi analisi esatta. Il fanciullo di questo stadio, dal punto di vista della corrispondenza seriale, rimane allo stesso livello sopra descritto per la corrispondenza cardinale: quello del confronto globale senza comprensione, neanche intuitiva, del dettaglio dei rapporti.

Secondo stadio. È il periodo della seriazione e della corrispondenza seriale intuitive o empiriche. La corrispondenza seriale non assicura l’equivalenza cardinale, più della corrispondenza qualitativa in generale propria di questo livello. Se nega l’equivalenza cardinale quando gli elementi non sono più uno di fronte all’altro, il fanciullo crede possibile ritrovarlo rimettendoli a posto.

Nel terzo stadio abbiamo la nozione di una equivalenza durevole contemporaneamente cardinale e ordinale. Finché gli elementi corrispondenti sono situati gli uni di fronte agli altri, la corrispondenza è assicurata da questa stessa similitudine qualitativa e non si pone alcun  problema; questo sopravviene invece quando viene a mancare il contatto percettivo. Se il fanciullo ha optato fino a 4 (verbalmente o con i gesti) per la bambola 5, applicherà questo numero 4 alla serie corrispondente (bastoni), ma in un modo diverso, in modo che al numero 4 il fanciullo avrà l’impressione di essere pervenuto alla fine della corrispondenza e attribuirà così il bastone 4 alla bambola 5. Questa mancanza di coordinazione, così indicativa, dei meccanismi di natura cardinale e di quelli di tipo ordinale, lungi dal derivare da una rottura di equilibrio e da una dissociazione momentanea, come potrebbe sembrare quando si descrivono i fatti in termini di logica e di aritmetica applicata, indica invece l’inizio di una nuova coordinazione; è dunque una mancanza di coordinazione soltanto dal punto di vista degli stadi ulteriori, ma costituisce un progresso sotto tutti gli aspetti in rapporto al primo stadio nel corso del quale il problema non si poneva neppure.

Con il progresso della seriazione vediamo apparire un primo legame tra il posto per la coordinazione, poiché a ritrovare il posto di un elemento quando le serie sono visibilmente disgiunte, bisogna contare i posti degli elementi precedenti o valutarli per corrispondenza termine per temine. Poiché la seriazione propria del secondo stadio rimane intuitiva e non raggiunge un livello realmente operante, la coordinazione rimane esteriore a questa seriazione; il posto resta una questione di posizione nella scala qualitativa, correlativo a un valore cardinale, da cui si rileva la non coordinazione sussistente a questo livello. Le esitazioni proprie del secondo stadio dimostrano un inizio di dissociazione, non ancora perfezionata, tra le relazioni qualitative e le relazioni numeriche, quindi tra la corrispondenza seriale (o similitudine qualitativa) e la corrispondenza ordinale (o similitudine generalizzata).

Si ha similitudine qualitativa tra due serie di relazioni quando due gruppi di oggetti sono disposti in serie per mezzo della stessa serie di relazioni qualitative asimmetriche e il posto di ogni elemento della prima serie corrisponde a quello di un elemento determinato della seconda; quando il fanciullo si limita a disporre in serie i bastoni e le bambole secondo la loro grandezza e a mettere in corrispondenza queste due serie, si verifica una similitudine qualitativa.

Nella seriazione ordinale, invece, ogni elemento conta per una unità che equivale in tutto alle altre tranne che per il posto occupato nella serie. Quando le due serie siano otticamente disgiunte, il fanciullo del secondo stadio è costretto ad aggiungere alla corrispondenza seriale una corrispondenza ordinale ossia a considerare le bambole e i bastoni come altrettante unità che possono essere enumerate oltre che seriate. Quando cercano di trovare il posto di un elemento dato, comprendono che bisogna enumerare i termini precedenti considerandoli unità equivalenti tra loro, ma non spingono l’aritmetizzazione della serie abbastanza lontano d contare ugualmente l’elemento il cui poso è in gioco come unità omogenea alle altre. Successivamente, per determinare un posto qualsiasi per mezzo della numerazione, il fanciullo considera da una parte la posizione qualitativa dell’elemento in questione e, dall’altra, il valore cardinale del gruppo degli elementi che lo precedono; non comprende che ogni posto è di per se stesso un numero, né che questo numero è indissociabile dall’intero complesso di cui fa parte l’elemento così disposto.

Nel terzo stadio si ha un duplice progresso della costruzione operante, e non più intuitiva, delle corrispondenze seriale e ordinale e, di conseguenza, la scoperta di una connessione necessaria tra l’ordinazione e la cardinazione.

• La ricostruzione della corrispondenza cardinale.

Durante il primo stadio la corrispondenza si interrompe, non si ricostruisce di nuovo la seriazione e la scelta dei temini da rimettere a due a due è effettuata arbitrariamente; durante il secondo stadio notiamo alcune prove più o meno avanzate, ma senza riseriazione o cardinazione sistematica; durante il terzo stadio la ricostruzione è completa con coordinazione dell’ordinazione e della cardinazione.

Primo stadio. La mancanza di una seriazione spontanea comporta la mancanza di una corrispondenza cardinale spontanea. Alla mancanza di seriazione corrispondeva una mancanza di conservazione e di equivalenza durevole. A questo livello non si verifica neppure corrispondenza cardinale spontanea quando si pone un problema di doppia seriazione.

Secondo stadio. È l’inizio della seriazione che si stabilisce tra la cardinazione e l’ordinazione. A) Il metodo più primitivo consiste nel trovare senz’altro la corrispondenza a caso o nell’ordinare una sola serie e indovinare poi la corrispondenza con l’altra. Con questo procedimento il fanciullo impiega una co-seriazione implicita, ma di natura puramente qualitativa; quindi, non si tratta ancora di ordinazione propriamente numerica. B) Il secondo metodo consiste nell’utilizzare la cardinazione, trascurando però l’ordine. C) Il terzo metodo consiste nell’utilizzare l’ordinazione o più precisamente la seriazione, ma anche nel dimenticare la cardinazione. D) Il quarto metodo utilizza simultaneamente l’ordinazione e la cardinazione, ma senza coordinare il posto cercato con l’insieme cardinale degli elementi.

Ciò che il fanciullo ha appreso nel primo stadio è che, se 10 pupazzetti di diversa grandezza hanno ognuno un bastone adatto alla propria statura, il numero totale dei bastoni sarà anch’esso di 10 e che, se i 56 pupazzetti più grandi vanno a passeggio con i loro bastoni, questi ultimi saranno ugualmente i 5 più grandi del gruppo. Ma ciò che il fanciullo non ha ancora compreso è che il bastone corrispondente al pupazzetto n sarà non soltanto l’ n°  della serie dei bastoni, ma costituirà anche con i precedenti un insieme cardinale di n bastoni o, più semplicemente, che l’n° pupazzetto è necessariamente l’ultimo di n  pupazzetti. Potrebbe tuttavia sembrare che la prima di queste due proposizioni porti necessariamente con sé la seconda. Ma non è così, perché tra loro sussistono due differenze essenziali: una circa la struttura logica delle operazioni e l’altra circa il loro meccanismo psicologico.

La corrispondenza seriale di ordine qualitativo viene conquistata nel corso del secondo stadio nella misura in cui può essere effettuata per via intuitiva, ma la generalizzazione delle operazioni qualitative, come pure la costruzione della corrispondenza ordinale, sono riservate al terzo stadio, perché presuppongono un meccanismo propriamente operativo, in particolare per quel che concerne la coordinazione del numero ordinale e del numero cardinale.uel che concerne la coordinazione del numeroordinale e del numero cardinale (188).qqq

6) L’ordinazione e la cardinazione

Nella serie di bastoni: 1) I fanciulli sbagliano ogni seriazione completa e non riescono a costruire che piccole serie poste una accanto all’altra, senza ordine d’insieme. Oppure arrivano a formare una scala, ma considerando soltanto la parte superiore di ogni bastone. La loro scala, in questo modo, non è regolare che dal punto di vista della figura d’insieme costituita dai vertici. 2) Il fanciullo costruisce per tentativi una scala in modo corretto, ma senza arrivare a un sistema di relazioni che gli possa far superare le prove e gli errori e gli permetta in particolare di intercalare senza errori i bastoni supplementari. 3) Ogni elemento trova immediatamente una posizione tale da essere nello stesso tempo più grande dei precedenti e più piccolo dei successivi.

Se i bambini del primo stadio sanno indicare immediatamente “il bastone più piccolo”, quando si richiede “il più grande” indicano invece un bastone grande qualsiasi, come se il più grande fosse un bastione grande in sé, indipendentemente dalle relazioni che lo legano agli altri. Come se cercasse, in relazione al primo o a uno dei “piccoli”, uno “grande”, ancora uno “grande”, ecc. Una serie suppone una direzione stabile nel mettere i termini in relazione, e anche questa capacità di direzione sembra mancargli assolutamente. La costruzione di una serie è più facile dell’inserzione di nuovi termini questo dipende dal fatto che intercalare un nuovo elemento presuppone operazioni di messa in relazione molto meno suscettibili di essere sostituite dall’intuizione. La costruzione di una serie può riguardare soltanto l’intuizione, mentre non si può affermare la stessa cosa per l’inserzione. La difficoltà del fanciullo nel tradurre il posto in numeri, quando le serie sono disfatte, è paragonabile a quella che egli prova nell’intercalare elementi nuovi nel caso in cui le serie siano già formate; mentre la sua facilità a contare i termini della serie percepita è paragonabile alla sua facilità a disporre i bastoni in una serie intuitiva.

I cartoni in scala. Si prenda un quadrato di cartone (A) che rappresenti una unità; un rettangolo B che abbia la stessa larghezza di A e l’altezza doppia di quella di A (che rappresenti dunque due unità) e un rettangolo C che rappresenti 3 unità sovrapposte (la stessa larghezza con altezza tripla), ecc. Gli si domanda: “Quanti cartoni come A si potrebbero fare con B, con C?”, e così via, finché il soggetto comprenda che il secondo cartone può essere tagliato in 2°, il terzo in 3°… Una volta compresa questa norma, si indica un cartone qualsiasi (es. F) e, mantenendo la scala completa, si chiede quante unità si potrebbero fare con quel cartone. Per poter stabilire se il soggetto sia capace di far corrispondere inizialmente il valore cardinale 6 di questo cartone F al suo posto (6°) e, nel caso affermativo, è chiaro che la relazione tra l’ordinazione e la cardinazione è ormai acquisita. Se, invece, il fanciullo ha bisogno ogni volta di misurare quanti A possono entrare in E, F, ecc., dovremo ammettere che questa corrispondenza non sia ancora costituita.

Al primo stadio la seriazione resta globale e la relazione tra l’ordine e la cardinazione non è compresa di 3 o 4 elementi.

Al secondo stadio la seriazione intuitiva giunge al risultato esatto dopo alcuni tentennamenti e la relazione tra l’ordinazione e il valore cardinale è compresa quando si segue l’ordine, ma non lo è più quando si mischiano i cartoni.

Nel corso del terzo stadio anche l’ultima domanda ha esito corretto.

I tappeti e gli ostacoli. Il bambino fallisce nel primo stadio: seriazione globale; vi riesce nel secondo, ma a condizione di ricostruire l’intera serie: seriazione intuitiva; finché rimane nel campo della percezione, la valutazione cardinale caratteristica del secondo stadio si effettua per mezzo della corrispondenza termine per termine, che presuppone una ordinazione. Queste due specie di limitazioni – differenziazione non ancora acquisita tra il qualitativo e il numerico e funzionamento semi-operante che non va oltre il piano percettivo – sono sufficienti a spiegare il fatto che la coordinazione che inizia a effettuarsi tra l’ordinazione e la cardinazione non possa essere penalizzata, né sistematizzata, nel corso di questo stadio. Il posto di ogni elemento della serie non può ancora tradursi senz’altro in un valore cardinale; il carattere intuitivo e semi-operante delle totalità cardinali e delle serie spiega da sé la non conservazione dei complessi e dei posti. In mancanza di operazioni propriamente dette di composizione e scomposizione, rese impossibili da questa non-conservazione, i meccanismi numerici non potrebbero differenziarsi abbastanza dai meccanismi qualitativi per dare origine a una effettiva interazione tra classi e relazioni dapprima, e poi tra la cardinazione e l’ordinazione.

La comprensione avviene al terzo stadio, quello della seriazione operante. La coordinazione d’insieme si effettua e questo accade per la vittoria delle operazioni sull’intuizione percettiva, cioè del raggruppamento reversibile sulla constatazione statica. Ne deriva: 1) la generalizzazione delle operazioni qualitative; 2) la loro differenziazione dalle operazioni numeriche; 3) l’interazione necessaria dell’ordinazione e della cardinazione.

1. Per quanto riguarda la generalizzazione delle operazioni, l’unica seriazione che vince la fluttuazione del campo della percezione è quella operativa, nella misura in cui poggia su relazioni che si compongono tra di loro in qualità suscettibili di invertirsi rigorosamente. Le classi e le relazioni complementerai sono soltanto complementari, cioè non esistono rapporti qualitativi che si riferiscano contemporaneamente alle classi e alle relazioni; La classe, infatti, fa astrazione dalle differenze e la relazione asimmetrica fa astrazione dalle equivalenze. Il concetto non è che una sintesi di qualità, e la classe diventa un raggruppamento di individui qualificati ma non enumerati. La relazione asimmetrica, in quanto rapporto tra qualità, è necessariamente quantificante e, nella misura in cui differenzia gli individui invece di fonderli insieme, prepara la via al numero; ma finché questo non accade, essa non determina con le sue composizioni e quelle quantità che Kant chiamava intensive, perché non sono riducibili a un sistema di unità. Sono queste le principali associazioni additive a cui arriva il fanciullo del terzo stadio generalizzando le operazioni qualitative.

2. Appena arrivato a questo tipo di composizioni logiche, il fanciullo diviene proprio per questo capace di dedurre composizioni numeriche corrispondenti e di differenziarle le une dalle altre. Non si intende con questo affermare che il numero si riduca alle classi e alle relazioni, ma semplicemente mostrare i loro scambievoli rapporti. La classe non è anteriore al numero, ma si completa contemporaneamente a esso e su di esso si basa. Senza la nozione del numero cardinale che interviene implicitamente nei termini “uno – nessuno – alcuni – tutti”, non si potrebbe infatti concepire l’inclusione delle classi le une nelle altre; le classi sono dunque, in un certo senso, numeri non seriati.

3. Coordinazione dei numeri ordinali e cardinali. Un numero cardinale è una classe i cui elementi sono concepiti come “unità” equivalenti le une alle altre e, tuttavia, distinte, perché le differenze tra di loro consistono allora soltanto nel fatto che è possibile disporle in serie i cui termini, pur succedendosi secondo le relazioni di ordine che seguono i loro rispettivi posti, sono ugualmente unità equivalenti le une alle altre e quindi suscettibili di essere riunite cardinalmente. I numeri finiti sono dunque necessariamente cardinali e ordinali a un tempo, per la natura stessa del numero, che consiste in un sistema di classi e di relazioni asimmetriche fuse in un medesimo tutto operante. I cardinali risultano dunque da una astrazione della relazione. Gli ordinali risultano da un’astrazione delle classi, ma questa duplice astrazione non modifica in alcun modo la proprietà del numero intero finito, di conservare la sua unicità e di implicare l’indissociabile solidarietà delle totalità e dell’ordine.

Immagine di Copertina tratta da Didagiochi.