Analisi e studio su:
Jean Piaget – Alina Szeminska
La genesi del numero nel bambino
La Nuova Italia, Firenze 1941 – Seconda ristampa 1976
Parte II di 5
La corrispondenza e la determinazione del valore cardinale dei gruppi.
Abbiamo diversi tipi di corrispondenza: mentre il tipo superiore può essere qualificato di “corrispondenza qualificante” perché sfocia nella nozione dell’equivalenza necessaria e durevole dei propri corrispondenti, i tipi inferiori sono di ordine intuitivo, perché l’equivalenza dei gruppi è riconosciuta solo nel caso che la loro corrispondenza sia percepita per contatto ottico (o acustico, ecc.) e cessa quando non è rappresentata nello stesso campo di percezione.
Sorge un problema: “Ecco una certa quantità di oggetti: prendine altrettanti”. È un semplice problema di valutazione o di misurazione della quantità (del valore cardinale di un gruppo), che non impone alcun metodo, ma serve precisamente a osservare quale procedimento il fanciullo sceglierà.
Studiamo ciò che si potrebbe indicare con il termine di operazioni numeranti o quantificanti ossia le operazioni elementari di corrispondenza, di equalizzazione, ecc., che costituiscono la logica stessa del numero. Trascureremo i problemi di percezione per dedicarci a quello della genesi delle operazioni come tali. Chiamiamo qualitativa una corrispondenza fondata sulle qualità degli elementi corrispondenti. La corrispondenza numerica, o quantificante, sarà invece quella che fa astrazione dalle qualità delle parti e le considera come altrettante unità. Chiamiamo d’altra parte intuitiva ogni corrispondenza fondata sulle sole percezioni e che, per conseguenza, non permane al di fuori del campo percettivo attuale.
La corrispondenza operante, invece, è formata di relazioni e di ordine intellettuale e il suo carattere distintivo è quindi la sua conservazione, indipendente dalla percezione attuale, come anche la mobilità della sua composizione; in una parola la sua “reversibilità”. Una corrispondenza qualitativa può dunque essere intuitiva (se è legata a due figure simili) o operante (se mette in corrispondenza due figure diverse), mentre la corrispondenza numerica è necessariamente operante (tranne per i tre o quattro primi numeri).
Se il risultato di queste misurazioni per mezzo della densità è il contrario di quelle che si fondano sulla lunghezza delle file, è chiaro che il principio è lo stesso: è una qualità percepita globalmente che costituisce il criterio di valutazione e non il numero o la corrispondenza termine a termine. Le quantità elementari o quantità brute non sono altro che i rapporti che si esprimono in “più”, in “uguale” o in “meno”, percepiti immediatamente tra le qualità date, ma non ancora coordinati fra loro. È così che le due qualità inerenti a ogni fila di oggetti (indipendentemente da quelle degli oggetti stessi) sono rappresentate dalla lunghezza totale e dalla densità degli elementi.
A un primo livello, che è quello dei rapporti percettivi non coordinati tra loro, corrispondono le reazioni globali “più o meno lungo” o “più o meno compatto”, che caratterizzano le file come tali e non corrisponde invece il dettaglio dei rapporti che uniscono ogni elemento a ciascuno degli altri.
Quanto alla coordinazione che nasce tra queste due specie di relazioni, e si esplica durante il secondo stadio sul solo piano intuitivo, essa è nello stesso tempo di natura additiva (seriazione) e moltiplicativa (corrispondenza). La densità di una fila non è altro che la successione (percepita o concepita) degli intervalli che separano ogni elemento dal successivo e la somma di queste lunghezze è identica alla lunghezza totale della fila: coordinare la lunghezza totale e la densità significa dunque semplicemente scomporre la prima in segmenti la cui somma definisce la seconda e questa costituisce una seriazione additiva (addizione delle relazioni). D’altra parte, far corrispondere termine per termine due file per contatto visivo o spaziale, è costruire due serie che abbiano la stessa lunghezza e gli stessi intervalli ossia i cui elementi si trovino esattamente gli uni di fronte agli altri: corrisponde quindi a moltiplicare le relazioni “situate a una certa distanza orizzontale” per le relazioni “poste al di sopra di”. È dunque il principio della seriazione e della moltiplicazione delle relazioni qualitative di posizione, che il fanciullo scopre nell’effettuare la corrispondenza termine a termine di ordine percettivo, ma nulla di più.
Con il terzo stadio, infine, vediamo che la corrispondenza si libera dalle sue limitazioni spaziali o percettive e sussiste indipendentemente dagli spostamenti che si imprimono agli elementi. In altri termini l’equivalenza, una volta constatata, è concepita come necessariamente sussistente malgrado le possibili trasformazioni di configurazione dei gruppi corrispondenti. La corrispondenza termine a termine diviene così realmente quantificante ed esprime, da qui in avanti, l’uguaglianza numerica e non più soltanto l’equivalenza qualitativa.
Il fanciullo arriva a tener conto nello stesso tempo delle relazioni di lunghezza e di densità, non più soltanto nel caso in cui le file da confrontare sono simili, ma anche (e questo rappresenta il progresso sullo stadio precedente) nel caso in cui le file differiscono simultaneamente per lunghezza e densità. In altri termini, se si considerano relazioni distinte tra la lunghezza totale delle file e la loro densità, come considera il fanciullo stesso prima di coordinarle o nel definire la densità in base alle lunghezze più o meno grandi di intervalli che separano gli elementi della serie (lunghezze riconoscibili percettivamente dal carattere “serrato” o “distanziato”), si può allora dire che il terzo stadio segna il completamento della moltiplicazione di queste due relazioni. In presenza di una fila divenuta contemporaneamente più corta e più densa di quella che le corrisponde, il fanciullo del secondo stadio rinuncia a tener conto insieme delle due relazioni e dichiara più numerosa una delle due file, sia perché più lunga, sia perché più densa.
Invece, e per la prima volta, il fanciullo del terzo stadio generalizza l’operazione di moltiplicazione di queste due relazioni: comprende che una fila più corta e più densa di un’altra può essere uguale a essa. Siamo a livello di operazioni propriamente dette, dovute alla reversibilità progressiva del pensiero.
Quando il fanciullo del terzo stadio afferma che la corrispondenza stabilita tra due file permane sempre, poiché per ricostituirla basta disporre di nuovo gli elementi nella loro posizione iniziale, ciò rivela senza dubbio la generalizzazione della moltiplicazione qualitativa e può significare semplicemente questo: essendo la corrispondenza qualitativa l’operazione che permette di porre di fronte gli elementi di due file della stessa lunghezza e della stessa densità, è sempre possibile ricostituire questa corrispondenza dopo averla scomposta. Questa reversibilità operativa è già abbozzata nel corso del secondo stadio, ma non acquista il proprio valore di necessità e di generalità che nel corso del terzo stadio. La differenza di lunghezza totale è compensata dalle differenze di intervallo.
Conclusioni.
A un primo livello (in media fino ad anni 4 e mezzo – 5 circa), il fanciullo valuta le quantità discontinue o complessi come se si trattasse di quantità continue ossia grandezze spaziali: egli fonda i propri giudizi quantitativi sulla forma di insieme del gruppo e sui rapporti globali come più lungo, più largo, più serrato, ecc. Una simile reazione iniziale si può spiegare in due modi: sia con il fatto che il fanciullo non prova il bisogno di scomporre la totalità che percepisce e che cerca di valutare, sia perché è incapace di effettuare tale scomposizione. L’unico principio di sintesi a disposizione del fanciullo nel primo livello è la stessa forma d’insieme in quanto intuizione fondata sulla percezione globale, priva di “operazioni” che permettano di rimettere insieme le parti sparse di questa intuizione percettiva, se essa si spezza.
Al livello elementare non c’è sintesi possibile al di fuori della forma percettiva d’insieme e, quando questa dove essere essere scomposta per una ragione qualsiasi, l’unica analisi di cui il fanciullo sia capace consiste nel prendere in considerazione un certo numero di rapporti globali indipendentemente gli uni dagli altri e non già rapporti tra gli elementi, perché la nozione di unità non interviene ancora. Si può dunque dire che, se il metodo della comparazione globale permette di confrontare sommariamente due gruppi che presentino la stessa forma di insieme, occupino lo stesso spazio e abbiano quasi la stessa densità, esso non basta più al suo compito quando questi caratteri sono dissociati; quando il fanciullo ha identificato due gruppi globalmente, basta distanziare gli elementi di uno di essi per constatare che egli non crede più nella equivalenza. Non comprende che, se la forma d’insieme cambia, e con essa la disposizione delle parti, il totale rimane identico: infatti, non c’è ancora un totale, ma soltanto delle totalità percettive. Non c’è dunque conservazione del gruppo come tale, perché i rapporti elementari agglomerati nella percezione d’insieme non sono coordinati, ma soltanto posti uno accanto all’altro. Siamo al livello della predominanza dell’intuizione percettiva sulle operazioni, dei livelli dei confronti globali, della realizzazione delle forme d’insieme.
Al secondo livello le parti della totalità non sono più agglomerate ossia il fanciullo tiene conto dei diversi criteri e inizia a coordinarli. A seconda che ponga l’accento sulla lunghezza, sulla larghezza, sulla densità ecc., egli perviene a valutazioni diverse dalle quali derivano esitazioni e contrasti che costringono a ricorrere alla coordinazione. Prevalgono l’analisi e la sintesi combinate nella riproduzione delle diverse configurazioni geometriche dei gruppi e in opposizione al sincretismo delle forme d’insieme del primo livello. Il bambino si avvale di un metodo semi-operativo nuovo che rende possibile una corrispondenza qualitativa di ordine intuitivo.
Sotto il profilo psicologico il mettere in corrispondenza non è altro che la sistematizzazione dei giudizi di rassomiglianza e di comparazione. Il secondo metodo non è che il prolungamento del primo; è più preciso, più ricco, un po’ più mobile, ma sempre limitato all’intuizione sensibile e non ancora in grado di effettuare dissociazioni e composizioni propriamente operanti e logiche. Più precisamente si può dire che esso è semi-operante poiché, sul piano pratico o dell’esperienza percettiva, perviene già a realizzare la corrispondenza qualitativa, ciò che presuppone una coordinazione intuitiva delle relazioni in gioco.
Con il terzo metodo si realizza un progresso decisivo: la corrispondenza conduce all’equivalenza durevole e necessaria ossia alla nozione che i gruppi corrispondenti rimangono equivalenti indipendentemente dalla loro configurazione o dalla disposizione degli elementi. Questo progresso si realizza in modo molto continuo, per un processo di liberazione progressiva dalla figura o dall’intuizione percettiva. Le azioni eseguite formano d’ora in poi un sistema d’insieme la cui reversibilità è costante, e questo sistema è nello stesso tempo il principio di una generalizzazione delle corrispondenze qualitative o coordinazioni semplicemente logiche di relazioni e della corrispondenza numerica o “qualsiasi”, che considera ogni elemento come una unità indipendente dalle sue qualità, dunque uguale alle altre, e che differisce da esse soltanto per la sua posizione momentanea nella seriazione. A questa evoluzione psicologica, che procede dalla percezione globale all’operazione grazie a una reversibilità progressiva, di azioni e di pensiero, corrisponde una struttura logica dei giudizi, che dal semplice rapporto non decomposto conduce alla corrispondenza bi-univoca e reciproca “qualunque”. Alla “quantità bruta” corrisponde la valutazione globale, alla “quantità intensiva” la corrispondenza qualitativa e alla “quantità estensiva” la corrispondenza numerica, restando inteso che le moltiplicazioni logiche produttrici della corrispondenza qualitativa iniziano nel corso del secondo stadio e soltanto su un piano intuitivo o semi-operante e che si generalizzano nel corso del terzo stadio in stretta solidarietà con quelle che sono alla base della corrispondenza numerica.
La seconda tappa logica, che corrisponde alla “quantità intensiva”, è caratterizzata dalle seguenti operazioni: una seriazione additiva e una moltiplicazione delle serie additive. Al fanciullo è indispensabile, per arrivare a mettere correttamente in corrispondenza i gruppi, tenere conto nello stesso tempo della lunghezza e della densità. Queste due operazioni complementari costituiscono la seriazione additiva e la moltiplicazione delle relazioni. La seriazione additiva delle relazioni consiste nello stabilire che la lunghezza totale della fila è costituita dalla somma degli intervalli che separano ogni elemento dal successivo. La moltiplicazione delle relazioni consiste nel costruire una fila che riproduca esattamente la tessa lunghezza e gli stessi intervalli di un’altra fila data e definita dalla posizion dei suoi elementi.
La corrispondenza cessa di essere qualitativa e divine numerica quando gli elementi sono concepiti come uguali (equivalenti sotto tutti i punti di vista) tra di loro e i caratteri differenziali che li opponevano gli uni agli altri nell’interno di uno stesso gruppo sono sostituiti dall’unica differenza compatibile con la loro uguaglianza ossia dalla loro posizione relativa nell’ordine della messa in corrispondenza; è dunque l’ugualizzazione delle differenze a essere fonte dell’unità e quindi del numero. Qualora si restringa la seconda fila, la sua lunghezza totale diminuisce, ma la densità aumenta. In questo caso il fanciullo del secondo stadio è disorientato e nega che ci sia ancora corrispondenza.
I soggetti del terzo stadio affermano l’equivalenza malgrado questa trasformazione. Emerge la possibilità di ritrovare lo stato iniziale distanziando la seconda fila. Il fanciullo sostituisce la corrispondenza matematica alla corrispondenza qualitativa. Sostiene che (meno lungo) X (più denso) = (lo stesso numero) e che così la diminuzione della lunghezza totale della fila è compensata dall’aumento della densità, quindi dalla diminuzione di lunghezza degli intervalli. Acquista valore soltanto il reciproco rapporto invariante. Ogni intervallo diviene una unità equivalente alle altre, mentre il numero degli elementi rimane costante. Quando alle pre-condizioni di qualità si aggiunge l’equalizzazione delle differenze, c’è composizione numerica e intervento della nozione di unità. La costruzione del numero, determinata dall’analisi della corrispondenza “qualsiasi”, consiste nell’eguagliare le differenze ossia riunire in un tutto unico operante la classe e la relazione asimmetrica; i termini enumerati sono allora a un tempo equivalenti tra loro, e in questo partecipano della classe, e differiscono gli uni dagli altri per l’ordine di enumerazione, e in questo partecipano della relazione asimmetrica; Queste differenze, inoltre, limitandosi alla pura successione, sono tutte equivalenti fra loro, da cui il fatto che in una serie qualitativa qualsiasi, basta considerare ciascuna relazione elementare come equivalente alle altre per conferire a questa serie un carattere numerico.
Immagine di Copertina tratta da Very Well Mind.
Mario Bruno 