Analisi e studio su:
Jean Piaget – Alina Szeminska
La genesi del numero nel bambino
La Nuova Italia, Firenze 1941 – Seconda ristampa 1976
Parte I di 5
La conservazione delle quantità continue
Primo Stadio: assenza di conservazione.
Il fanciullo considera come naturale che la quantità di liquido abbia a variare secondo la forma e le dimensioni dei recipienti in cui viene travasata. Al livello del primo stadio, la quantità si riduce così ai rapporti asimmetrici dati fra le qualità, cioè alla comparazione in “più” o in “meno” implicite nei giudizi, come “è più alto”, “meno largo”, ecc. Ma questi rapporti permangono di pura percezione e non costituiscono ancora delle “relazioni” propriamente dette, perché non possono essere coordinati gli uni con gli altri secondo operazioni di addizione o di moltiplicazione. Questa coordinazione che si inizia con il secondo stadio, va a sfociare poi in una nozione di quantità intensiva, dunque senza unità, ma suscettibile di coerenza logica. Ora, appena si è costituita, questa quantificazione intensiva permette al fanciullo di concepire, anteriormente a qualsiasi altra misura, la proporzionalità delle differenze e in conseguenza la nozione di una quantità totale di ordine estensivo. Questa scoperta, che è la sola che renda possibile lo sviluppo del numero, proverrebbe così dai progressi stessi della logica nel corso degli stadi qui considerati.
Secondo i fanciulli del primo stadio, la quantità di liquido travasata aumenta o diminuisce in funzione della forma o del numero dei recipienti. Le ragioni invocate in favore della non-conservazione (differenza di livello, di larghezza, numero dei bicchieri, ecc.) variano da un soggetto all’altro, o da un momento all’altro, ma ogni cambiamento percepito è considerato capace di portare con sé una modificazione nel valore totale del liquido.
Il problema è precisamente quello di sapere se il fanciullo sia capace di concepire una quantità in quanto totalità, risultante dalla coordinazione dei diversi rapporti percepiti: il fatto di isolare uno di questi rapporti può dunque derivare sia dalla incomprensione delle nozioni in gioco sia dalla domanda verbale stessa. L’unica cosa che ci chiediamo è in quale modo l’intelligenza pervenga a elaborare la nozione di una quantità costante malgrado le indicazioni opposte della percezione immediata. È una questione di giudizio e non certo di percezione quella che cerchiamo di risolvere. Il nostro problema non consiste dunque nello scoprire perché questa percezione è ingannatrice, ma perché i soggetti di un certo livello si fidino senz’altro di essa, mentre altri la correggono e la completano con un atto intelligente.
La percezione implica una organizzazione che elabora già la costanza su un piano proprio, e allora il suo funzionamento e le sue strutture successive presuppongono un’attività sensorio-motrice immediatamente intelligente. Tutto si svolge come se la bambina ignorasse la nozione di una quantità totale, o multi-dimensionale, e non potesse mai ragionare che su di una sola relazione alla volta senza coordinarla alle altre.
Stadio della “quantità bruta”.
Il fanciullo non arriva a tener conto simultaneamente delle relazioni di livello e di larghezza delle colonne d’acqua da confrontare. La quantità di liquido non è infatti, per lui, il prodotto di diverse relazioni di livello, larghezza, di bicchieri più o meno numerosi, ecc., poiché ognuna di queste relazioni è considerata a parte e indipendentemente dalle altre. Ognuno di questi rapporti non costituisce così che una “quantità bruta”, necessariamente unidimensionale. In conclusione, se i soggetti di questo primo livello non comprendono la conservazione della quantità, questo dipende dal fatto che non sono arrivati a costituire la nozione della quantità stessa, in quanto quantità totale. E se non ci arrivano, è perché non sono in grado di comporre le relazioni o le parti in causa, in quanto il loro spirito non va oltre il livello delle qualità o delle quantità “brute”.
Secondo Stadio: risposte intermedie.
Il fanciullo, in primo luogo, cerca di coordinare i rapporti percettivi in gioco e di trasformarli in relazioni vere, cioè operanti. I soggetti del secondo stadio oscillano senza fine tra questa prova di coordinazione e la sottomissione alle illusioni precettive, dando luogo alla reazione di prove di coordinazione infruttuose. Quando considera i livelli disuguali, il fanciullo dimentica le larghezze, e quando percepisce le larghezze disuguali dimentica ciò che ha pensato sulle relazioni dei livelli: nei livelli uguali egli prova a moltiplicare logicamente le relazioni di altezza e di larghezza tra loro, ma non appena questa operazione è abbozzata, l’una delle relazioni ha la meglio sull’altra in un’alternativa senza fine. In questo stadio il fanciullo inizia a comprendere che un tutto rimane identico a se stesso se lo si divide in due metà. Ma come la moltiplicazione delle relazioni rimane incompleta, allo stesso modo questa comprensione della partizione rimane breve e frammentaria. In conclusione, la moltiplicazione delle relazioni e la partizione sembrano procedere di pari passo ossia apparire e cominciare a svilupparsi l’una e l’altra nel corso di questo stadio, per arrestarsi strada facendo in funzione di queste limitazioni.
Terzo Stadio: la conservazione necessaria.
Si può notare quanto facilmente i fanciulli giungano a moltiplicare le relazioni di altezza e di larghezza che risultano dal confronto dei bicchieri. Non è dunque la scoperta della conservazione a indurre alla possibilità di moltiplicare le relazioni, ma proprio l’inverso. La nozione di conservazione delle quantità totali, alla quale pervengono i fanciulli di questo stadio, suppone una quantificazione estesa al caso in cui le relazioni elementari variano in senso inverso e, di conseguenza, la scoperta delle quantità “estensive”. Per affermare la conservazione non basta al bambino di sapere se versando A1 in A2 e restando uguali l’altezza e la larghezza della colonna, non varierà la quantità totale: gli occorre inferire in più che, se si versa A2 in L (di forma diversa), per esempio, la quantità rimane costante benché l’altezza aumenti e la larghezza diminuisca.
Questa conclusione non è possibile se ci si mantiene nei limiti della moltiplicazione logica delle relazioni. In che modo, dunque, il fanciullo supererà questi limiti senza dati numerici né misure propriamente dette? Tutta la questione è qui e anche in generale, tutto il problema del passaggio dalla quantità intensiva alla quantità estensiva. Giunti a questo punto si sarà senza dubbio tentati di rinunciare ad analizzare ancora i giudizi di conservazione e di concludere con Geo “non si è fatto altro che versare” o con Eus “questo viene sempre dalla stessa bottiglia”. Si avrebbe così conservazione per semplice identificazione logica, senza alcun intervento della matematica. Ma a una tale semplificazione del processo genetico si sarà sempre in diritto di opporre, ci pare, la domanda seguente, che rimarrebbe allora senza soluzione: perché bisogna che il bambino arrivi al terzo stadio per scoprire questa identificazione? I piccoli dai 4 ai 5 anni, infatti, sanno tanto bene quanto i grandi che “non si fa che versare” e che “questo viene dalla stessa bottiglia”. Per essi, tuttavia, la quantità varia: perché essi, dunque, non possono identificare lo stato terminale con lo stato iniziale, mentre a 6 o 7 anni lo faranno senza alcuna difficoltà.
È qui che interviene un secondo processo che, cosa invero interessante, risulta essere insieme sincrono e distinto dal precedente, e le cui relazioni con esso debbono essere stabilite con cura, giacché esse dominano tutto lo sviluppo delle nozioni matematiche: è l’intervento della nozione di “unità” ossia la quantificazione estensiva sotto forma sia di partizione aritmetica sia, ciò che porta alla stessa conclusione, di proporzioni propriamente dette.
Al livello del primo stadio, infatti, il fanciullo si limita a stabilire delle differenze qualitative semplici o unidimensionali. Nel corso degli stadi successivi, quando egli si limita a pure moltiplicazioni logiche di relazioni, gradua inoltre queste differenze, secondo una o più dimensioni, in seriazioni “intensive” di due o più termini. Si verifica la fusione delle relazioni asimmetriche di differenza (alto, largo) con quelle di uguaglianza. È questa combinazione di uguaglianze e di differenze, o più brevemente questa egualizzazione delle differenze, a costituire il passaggio dalla quantità intensiva alla quantità estensiva e che esplica l’aritmetizzazione della moltiplicazione logica. Fino a che rimane sul piano della seriazione qualitativa o intensiva, il bambino può coordinare tra loro due relazioni di livello o di larghezza oppure entrambe insieme. Confrontando i liquidi in A e in L egli vede subito che L è più alto di A, osserva che L è più sottile di A, ma nulla, nelle semplici comparazioni o seriazioni qualitative (o intensive) permette di quantificare queste relazioni diversamente che in più o in meno, mentre noi pretendiamo – ed è questa tutta la nostra ipotesi – che a un dato momento il soggetto comprenda che le differenze si compensano.
Ed è così che entra in gioco la quantificazione estensiva, perché allora due rapporti qualitativi eterogenei (un aumento di livello e una diminuzione di larghezza) sono concepiti come uguali benché conservino il loro significato di differenza asimmetrica. Nasce dunque così la proporzione, dalla combinazione dell’uguaglianza con la relazione asimmetrica. Questa proporzione è già in certo senso una partizione. Si ha partizione aritmetica quando gli elementi di un tutto possono essere uguagliati tra loro pur essendo distinti. Il fatto di porre a1 = a2 consiste proprio nel concepire le differenze di livello o di larghezza secondo il sistema della partizione aritmetica e non più della semplice addizione logica (delle classi o delle relazioni).
L’egualizzazione delle differenze genera, nel terzo stadio, una partizione propriamente numerica che è non soltanto sincrona, ma complementare alla scoperta delle proporzioni. Psicologicamente è l’equivalente dell’affermare che una metà è non soltanto una unità uguale a un’altra unità quando, riunita a questa, esse vengono a costituire un tutto, ma anche che la metà è uguale alla differenza tra il tutto e l’altra metà. Senza questa seconda condizione, il rapporto tra la metà e il tutto non potrebbe essere compreso e la nozione del tutto si cancellerebbe dopo la suddivisione.
La partizione numerica è dunque effettivamente nella sua essenza una egualizzazione di differenze, come la proporzione stessa. Il soggetto inizia – e si ferma a quel punto nel corso del primo stadio – con il considerare solo rapporti percettivi di uguaglianza o di differenza qualitative, non coordinati tra loro, che costituiscono così rispettivamente le qualità e le quantità brute, non componibili come tali. Poi, nel corso del secondo stadio, inizia un processo di coordinazione logica che si perfeziona al terzo stadio e culmina nella classificazione delle uguaglianze e nel raggruppamento in serie delle differenze (additivamente e moltiplicativamente), e questa variazione giunge a costituire delle quantità intensive.
Nel terzo stadio, infine, si costituiscono le quantità estensive, grazie alla egualizzazione delle differenze intensive e quindi dell’aritmetizzazione dei raggruppamenti logici.
La conservazione delle quantità discontinue
e le sue relazioni con la corrispondenza biunivoca e reciproca
Nel corso del primo stadio non c’è conflitto perché i rapporti percettivi hanno immediatamente il sopravvento sull’equivalenza. Durante il secondo stadio i fattori presenti per la determinazione hanno la stessa forza. Nel terzo stadio il concetto di equivalenza prevale immediatamente sui rapporti percettivi.
La corrispondenza provocata e l’equivalenza delle raccolte corrispondenti.
- La corrispondenza termine per termine tra i bicchieri e le bottiglie.
Nel primo stadio non vi sono corrispondenza esatta né equivalenza. I bambini non arrivano immediatamente alla corrispondenza termine con termine, ma procedono per semplice corrispondenza globale fondata sulla sola percezione della lunghezza delle file. Il bambino, per valutare i gruppi di oggetti, si limita a una specie di confronto di insieme o di rapporto globale, senza corrispondenza termine a termine, con una semplice valutazione spaziale (lunghezza delle righe, ecc.). L’unica interpretazione possibile è quella di ammettere una sorta di indifferenziazione tra il numero e lo spazio occupato, una valutazione globale e non ancora analitica, poiché l’unica valutazione analitica a disposizione del fanciullo è quella della corrispondenza visuale o di ordine percettivo. La quantificazione, nel primo stadio, non si riduce al numero (la maggior parte di questi soggetti sa contare fino a dieci) né alla corrispondenza biunivoca e reciproca, ma a una corrispondenza intuitiva legata alla configurazione percettiva del complesso analizzato. Il fanciullo inizia a liberarsi dalla percezione per costituire una corrispondenza con equivalenza propriamente intellettuale. È il primato dell’operazione propriamente detta sulla percezione. Le qualità percettive del fanciullo non danno luogo, durante i primi stadi, che a semplici rapporti quantitativi (più o meno “grande”, “lungo”, “piccolo”, “accostato”, ecc.) senza operazioni propriamente dette. Queste qualità non vengono coordinate o moltiplicate tra loro. È così che, nel corso del primo stadio, il fanciullo valuta la quantità unicamente in funzione della lunghezza più o meno grande della fila, senza moltiplicare questa relazione con quella del “porre di fronte” ossia senza costruire corrispondenze anche intuitive.
Nel secondo stadio si verifica corrispondenza termine con termine, ma senza equivalenza durevole tra i gruppi corrispondenti. I bambini non ammettono più questa equivalenza dal momento in cui le coppie di termini correlativi vengono separate, spaziando o avvicinando i termini di uno dei due gruppi. Le modificazioni introdotte nello spazio occupato appaiono al bambino come concernenti la quantificazione degli elementi stessi. L’equivalenza quantitativa fra due complessi si manifesta in una corrispondenza termine per termine, ma di ordine percettivo o intuitivo, supponendo un contatto percepito fra i termini corrispondenti, un contatto di ordine visivo, acustico, tattile, ecc. Il fanciullo è in grado di compiere questa coordinazione, ma su un piano puramente intuitivo ossia egli sa effettuare una messa in corrispondenza quando i termini correlativi sono posti gli uni di fronte agli altri. Basta però mutare l disposizione di uno dei gruppi, sia avvicinando sia distanziando tra loro i suoi elementi, perché il soggetto non riconosca più l’equivalenza.
Nel terzo stadio appaiono la corrispondenza termine a termine e l’equivalenza durevole dei gruppi corrispondenti. Ora il fanciullo scopre e dichiara esplicitamente che il fatto di accostare o di distanziare gli elementi non cambia affatto la loro quantità. Emerge la corrispondenza biunivoca e reciproca, con equivalenza durevole dei gruppi corrispondenti. Il fanciullo scopre che ogni trasformazione spaziale nella disposizione degli elementi può essere compensata da una operazione inversa. Il primato dell’operazione relativa all’intuizione percettiva risulta dalla reversibilità progressiva del pensiero: la percezione è per sua natura irreversibile ma, a mano a mano che si risolve in giudizi di relazione, le operazioni reversibili così costituite sono capaci di dominarla e di sostituire così la corrispondenza intuitiva con una corrispondenza operativa e quantificante, confermando, contrariamente alle apparenze della percezione immediata, l’equivalenza necessaria e durevole dei gruppi corrispondenti. Da solo, il famoso procedimento di scambio uno contro uno non porta, come tale, all’equivalenza necessaria dei gruppi scambiati. Pe giungere a questo risultato, lo scambio uno contro uno, come la corrispondenza intuitiva, deve anzitutto divenire operante ossia deve essere concepito come un sistema reversibile di spostamenti e di relazioni. Sembra così che, al di sotto di un certo limite di comprensione caratterizzato dall’inizio del terzo stadio, la numerazione parlata non trasformi in nulla il meccanismo del pensiero numerante. Non è dunque esagerato dire che questo fattore verbale non rappresenta alcuna parte del progresso stesso della corrispondenza e dell’equivalenza. La numerazione parlata può accelerare il processo di evoluzione, ma il nome dei numeri come tali non lo generanno.
Immagine di Copertina tratta da Centre Jean Piaget.
Mario Bruno 